摘  要：針對赫茲接觸理論未考慮圓柱滾子軸承邊緣效應(yīng)和偏載效應(yīng)的問題，通過切片法建立非赫茲接觸分析模型，結(jié)合該模型計算軸承的接觸應(yīng)力分布，并基于支持向量機(jī)建立軸承疲勞壽命模型，以NJ311圓柱滾子軸承為例，分析了力矩載荷、徑向載荷、轉(zhuǎn)速、徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響，結(jié)果表明：隨力矩載荷增大,軸承疲勞壽命降低,力矩載荷小于13 N·m時，對數(shù)素線滾子軸承疲勞壽命***高，力矩載荷大于13 N·m時，圓弧修形(圓心在兩側(cè))滾子軸承疲勞壽命***高；隨徑向載荷和轉(zhuǎn)速增加，軸承疲勞壽命降低；隨徑向游隙增大，軸承疲勞壽命先升高后降低。

關(guān)鍵詞：滾動軸承；圓柱滾子軸承；接觸應(yīng)力；邊緣應(yīng)力；壽命模型；支持向量機(jī)

圓柱滾子軸承因承載能力強(qiáng)、摩擦因數(shù)小而被廣泛使用,其疲勞壽命直接影響整機(jī)設(shè)備的壽命。關(guān)于圓柱滾子軸承疲勞壽命的相關(guān)研究有:文獻(xiàn)[1]提出了圓柱滾子軸承當(dāng)量動載荷的計算方法,并在Palmgren理論的基礎(chǔ)上提出了疲勞壽命的計算方法;文獻(xiàn)[2]根據(jù)套圈滾道控制理論,提出了任意載荷下軸承的載荷分布、疲勞壽命的準(zhǔn)確計算方法。上述軸承疲勞壽命的計算均未考慮偏載和滾子修形工況,為計算偏載下圓柱滾子軸承的疲勞壽命,首先需精確計算滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力,但傳統(tǒng)赫茲接觸理論假設(shè)圓柱體是等長的理想線接觸狀態(tài),未考慮邊緣效應(yīng)與偏載效應(yīng),往往需建立有限元模型求解:文獻(xiàn)[3]考慮軸線傾斜角建立了圓柱滾子軸承有限元模型;文獻(xiàn)[4]提出了一種解決網(wǎng)格劃分導(dǎo)致的非點接觸與游隙誤差的網(wǎng)格匹配方法,建立了精確的有限元模型;文獻(xiàn)[5]建立了考慮軸承結(jié)構(gòu)剛度和接觸區(qū)塑性變形的軸承有限元模型。有限元法求解接觸應(yīng)力的精度較高,但計算效率低。

關(guān)于軸承疲勞壽命影響因素的研究有:文獻(xiàn)[6]分析了材料、溫度、載荷分布等因素之間的耦合關(guān)系對軸承疲勞壽命的影響,以期準(zhǔn)確計算軸承疲勞壽命;文獻(xiàn)[7]分析了內(nèi)部游隙對圓柱滾子軸承載荷分布和疲勞壽命的影響,建立了低速圓柱滾子軸承***大滾動體載荷和壽命因子的經(jīng)驗公式;文獻(xiàn)[8]考慮過盈配合、溫度對套圈接觸應(yīng)力的影響,提出了基于表層***大剪應(yīng)力的高速軸承壽命修正計算方法;文獻(xiàn)[9]通過彈塑性分析,揭示了滾子的形狀、徑向間隙和工作載荷對軸承壽命的影響。但有關(guān)偏載工況下不同修形方式的軸承疲勞壽命的影響因素研究較少。

針對上述問題,本文通過切片法建立偏載工況下圓柱滾子軸承的非赫茲接觸模型,結(jié)合該模型計算滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力,并基于支持向量機(jī)建立軸承疲勞壽命計算模型,同時分析偏載工況下力矩載荷、徑向載荷、轉(zhuǎn)速、徑向游隙對不同修形方式軸承疲勞壽命的影響。

1 圓柱滾子軸承的非赫茲接觸分析

為快速準(zhǔn)確計算偏載工況下滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力,通過切片[10-11]法進(jìn)行偏載工況下的非赫茲接觸分析。

1.1 滾子受力分析

圓柱滾子軸承的偏載工況可等效為徑向載荷Fr和力矩載荷Mm的作用,如圖1所示,第j個滾子所受的徑向載荷為

圖1 偏載工況下圓柱滾子軸承受力示意圖

Fig.1 Load diagram of cylindrical roller bearing under eccentric load

(1)

δj=δrcos ψj-ej,

ej=0.5Gr(1-cos ψj),

式中:Kn為剛度系數(shù);δj為第j個滾子的徑向位移;l為滾子長度;Dw為滾子直徑;δr為0°方位角處(在徑向載荷作用方向)套圈的徑向位移;ψj為第j個滾子的方位角;ej為第j個滾子與滾道的初始間隙;Gr為徑向游隙。

在力矩載荷下,軸承內(nèi)、外圈會相對傾斜,如圖2所示,內(nèi)、外圈的相對傾斜角為

圖2 偏載工況下內(nèi)、外圈相對傾斜示意圖

Fig.2 Diagram of relative inclination of inner and outer rings under eccentric load

θj=θcos ψj,

(2)

滾子傾斜角αj為

(3)

式中:θ為內(nèi)圈轉(zhuǎn)角。

1.2 非赫茲接觸模型

考慮邊緣效應(yīng)和偏載效應(yīng),通過切片法建立滾子與滾道的非赫茲接觸分析模型。將第j個滾子沿素線方向劃分為n個切片單元,如圖3所示,每個單元沿滾子素線方向(y方向)的接觸應(yīng)力近似相等,沿滾子徑向(x方向)符合赫茲接觸,滾子受力平衡方程為

圖3 滾子切片單元示意圖

Fig.3 Diagram of roller slicing unit

(4)

變形協(xié)調(diào)方程為

(5)

式中:ajk為第k個切片的接觸半寬;hjk為第k個切片單元長度的一半;pjk為第k個切片單元中心的接觸應(yīng)力;η為材料影響系數(shù);Dk為第k個切片的柔度系數(shù); δθj為滾子傾斜引起的附加變形量;δcj為滾子修形量。

第j個滾子所受的力矩載荷Mmj為各切片單元上載荷的疊加,即

(6)

式中:yk為第k個切片單元中心的坐標(biāo);yc為滾子中心的坐標(biāo)。

軸承所受載荷為

(7)

式中:Z為滾子數(shù)量。

聯(lián)立(1)—(7)式,通過迭代求解可得滾子沿素線方向的接觸應(yīng)力,計算流程如圖4所示。

圖4 偏載工況下的非赫茲接觸分析流程

Fig.4 Non-Hertz contact analysis process under eccentric load

1.3 模型驗證

以NJ311型直素線(無修形)圓柱滾子軸承為例,其主要結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1,徑向載荷為14 kN,力矩載荷為10 N·m,轉(zhuǎn)速為1 200 r/min,徑向游隙為0 mm。

表1 NJ311軸承主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

Tab.1 Main structural parameters of NJ311 bearing

滾子沿素線方向的接觸應(yīng)力如圖5所示:1)邊緣接觸應(yīng)力明顯高于素線中心,說明出現(xiàn)了偏載效應(yīng);2)非赫茲接觸模型與有限元模型的邊緣應(yīng)力誤差小于5%,驗證了本文模型的正確性。

圖5 偏載工況下滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力

Fig.5 Contact stress between roller and raceway under eccentric load

其他參數(shù)不變,不同徑向載荷下滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力如圖6所示(Cr為基本額定動載荷):徑向載荷越大,邊緣效應(yīng)越明顯。

圖6 不同徑向載荷下滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力

Fig.6 Contact stress between roller and raceway under different radial loads

其他參數(shù)不變,不同力矩載荷下滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力如圖7所示:力矩載荷越大,偏載效應(yīng)越明顯。

圖7 不同力矩載荷下滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力

Fig.7 Contact stress between roller and raceway under different torque loads

結(jié)合圖6和圖7可知:軸承在偏載工況下運轉(zhuǎn)會存在邊緣應(yīng)力,進(jìn)而使?jié)L子兩端過早出現(xiàn)麻點、疲勞剝落等,故軸承疲勞壽命計算應(yīng)考慮偏載工況下的邊緣應(yīng)力。

2 圓柱滾子軸承疲勞壽命模型

2.1 修正額定壽命和修正參考額定壽命

ISO 281:2007 “Rolling bearings—Dynamic load ratings and rating life”考慮潤滑和污染對軸承壽命的影響,得到軸承修正額定壽命為

Lnm=a1aisoL10,

(8)

式中:a1,aiso為壽命修正系數(shù);L10為基本額定壽命;eC為污染系數(shù);Cu為疲勞載荷極限;P為當(dāng)量動載荷;κ為潤滑條件。

ISO/TS 16281:2008“ Rolling bearings—Methods for calculating the modified reference rating life for universally loaded bearings”在修正額定壽命的基礎(chǔ)上,將滾子沿素線方向均勻劃分為切片,計算每個切片上的受載情況,求和得到軸承修正參考額定壽命為

(9)

式中:qcdk,qcek為內(nèi)、外圈與滾子的第k個切片之間的基本額定動載荷;qedk,qeek為內(nèi)、外圈與滾子的第k個切片之間的當(dāng)量動載荷。

2.2 基于支持向量機(jī)的軸承疲勞壽命模型

軸承修正額定壽命假設(shè)接觸應(yīng)力沿滾子素線均勻分布,未考慮偏載工況下軸承的邊緣應(yīng)力;修正參考額定壽命計算效率低,故本文建立基于支持向量機(jī)的軸承疲勞壽命計算模型。

2.2.1 支持向量機(jī)

支持向量機(jī)回歸(SVR)具有訓(xùn)練樣本小,魯棒性強(qiáng),泛化能力強(qiáng)等優(yōu)點,預(yù)測波動范圍較大的訓(xùn)練集時精度較高?；驹硎菍ふ?**優(yōu)超平面使各樣本點與該平面偏差***小,超平面可表示為

f(x)=wTx+b,

(10)

式中:w為法向量;x為向量集;b為位移項。

假設(shè)有l個訓(xùn)練樣本,樣本集為

T={(xm,ym)};m=1,2,…,l,

(11)

式中:xm為樣本的輸入向量;d為向量維數(shù);ym為樣本的輸出值。

支持向量機(jī)回歸求解問題轉(zhuǎn)化為

(12)

式中: C為懲罰因子;為松弛變量;ε為損失系數(shù)。

引入拉格朗日乘子式可轉(zhuǎn)化為

(13)

對(13)式進(jìn)行對偶變換,得到SVR的對偶形式為

(14)

式中:K(xm,xn)為核函數(shù)。

求解(14)式可得和b,進(jìn)而得到***優(yōu)超平面。

核函數(shù)的作用是把原始空間的非線性問題高效地轉(zhuǎn)化為高維空間的線性可分問題,同時避免維數(shù)災(zāi)難的發(fā)生。核函數(shù)是求解(15)式的關(guān)鍵,本文選擇RBF核函數(shù)

(15)

式中:σ為RBF帶寬。

2.2.2 評價指標(biāo)

采用平均絕對百分比誤差、均方根誤差、絕對系數(shù)3個指標(biāo)評價軸承壽命預(yù)測模型:平均絕對百分比誤差越小,說明預(yù)測值與真實值越接近,預(yù)測效果越好;均方根誤差用于衡量預(yù)測值與真實值的偏差,均方根誤差越小,偏差越小;絕對系數(shù)用于評價預(yù)測值和真實值的符合程度,絕對系數(shù)越大,說明模型擬合程度越好。

平均絕對百分比誤差為

(16)

均方根誤差為

(17)

絕對系數(shù)為

(18)

式中: Mactual為真實值; Mforecast為預(yù)測值。

2.2.3 模型構(gòu)建及驗證

假設(shè)樣本的輸入向量xm為影響軸承疲勞壽命的因素,包括徑向載荷、力矩載荷、轉(zhuǎn)速、徑向游隙,ym為軸承修正參考額定壽命,基于SVR的軸承疲勞壽命模型為

ym=f(xm)。

(19)

構(gòu)建軸承疲勞壽命模型的步驟如下:

1)利用拉丁超立方法對徑向載荷、力矩載荷、轉(zhuǎn)速、徑向游隙輸入1 000組樣本點。

2)基于非赫茲接觸模型計算1 000組樣本點,得到各滾子與滾道之間的接觸應(yīng)力,再利用(9)式計算軸承修正參考額定壽命。

3)由已知樣本數(shù)據(jù)選擇合適的參數(shù),通過求解(14)式尋找***優(yōu)超平面。

4)根據(jù)***優(yōu)解建立決策函數(shù)

(20)

5)計算平均絕對百分比誤差、均方根誤差、絕對系數(shù)并評價壽命模型,若誤差在允許范圍內(nèi),說明壽命模型滿足要求,若不滿足則增大取樣范圍。

基于上述方法建立不同修形方式的NJ311圓柱滾子軸承疲勞壽命模型,各項評價指標(biāo)見表2:疲勞壽命預(yù)測值與真實值誤差較小,模型擬合度較高,說明了模型的正確性。

表2 NJ311軸承疲勞壽命模型的評價指標(biāo)

Tab.2 Evaluation indexes of NJ311 bearing fatigue life model

為進(jìn)一步驗證,隨機(jī)抽取3個樣本點,結(jié)果見表3:相對誤差在5%以內(nèi),滿足要求。

表3 NJ311軸承疲勞壽命模型對比

Tab.3 Comparison of NJ311 bearing fatigue life models

3 軸承疲勞壽命影響因素分析

基于本文軸承疲勞壽命模型,分析偏載工況下力矩載荷、徑向載荷、轉(zhuǎn)速、徑向游隙對軸承疲勞壽命的影響。

3.1 力矩載荷

在徑向載荷為14 kN,轉(zhuǎn)速為1 200 r/min,徑向游隙為0 mm時,軸承疲勞壽命隨力矩載荷的變化如圖8所示:1)本文模型軸承疲勞壽命小于修正額定壽命;2)隨力矩載荷增大,偏載效應(yīng)增強(qiáng),軸承疲勞壽命降低;3)當(dāng)力矩載荷小于13 N·m時,不同修形方式的軸承疲勞壽命由高到低依次為對數(shù)素線修形、圓弧修形(圓心在兩側(cè))、圓弧修形(圓心在中線)、全圓弧修形、直素線,當(dāng)力矩載荷大于13 N·m時,偏載效應(yīng)增強(qiáng),對數(shù)素線滾子軸承疲勞壽命急劇下降,說明不同修形方式的軸承抵抗偏載的能力不同。

圖8 軸承疲勞壽命隨力矩載荷的變化曲線

Fig.8 Variation curve of bearing fatigue life with torque load

3.2 徑向載荷

在力矩載荷為10 N·m,轉(zhuǎn)速為1 200 r/min,徑向游隙為0 mm時,軸承疲勞壽命隨徑向載荷的變化如圖9所示:1)隨徑向載荷增大,邊緣效應(yīng)對軸承壽命的影響程度增大,軸承疲勞壽命降低;2)徑向載荷由10 kN增加到20 kN時,對數(shù)素線滾子軸承疲勞壽命由直素線滾子軸承疲勞壽命的1.84倍上升到2.31倍。

圖9 軸承疲勞壽命隨徑向載荷的變化曲線

Fig.9 Variation curve of bearing fatigue life with radial load

3.3 轉(zhuǎn)速

在徑向載荷為14 kN,力矩載荷為10 N·m,徑向游隙為0 mm時,軸承疲勞壽命隨轉(zhuǎn)速的變化如圖10所示:1)隨轉(zhuǎn)速增加,滾子與套圈之間的接觸應(yīng)力增大,疲勞壽命降低;2)邊緣效應(yīng)與偏載效應(yīng)對軸承壽命的影響程度與轉(zhuǎn)速無關(guān),隨轉(zhuǎn)速增加,對數(shù)素線滾子軸承疲勞壽命始終是直素線滾子軸承疲勞壽命的2.03倍左右。

圖10 軸承疲勞壽命隨轉(zhuǎn)速的變化曲線

Fig.10 Variation curve of bearing fatigue life with rotational speed

3.4 徑向游隙

在徑向載荷為14 kN,力矩載荷為10 N·m, 轉(zhuǎn)速為1 200 r/min時,軸承疲勞壽命隨徑向游隙的變化如圖11所示:1)當(dāng)徑向游隙由-15 μm逐漸增大時,軸承疲勞壽命逐漸增大;2)徑向游隙增大至-6 μm時,軸承疲勞壽命***高,這是由于此時軸承內(nèi)部的承載區(qū)域較大,單個滾子承載較小;2)繼續(xù)增大軸承徑向游隙,軸承承載區(qū)域減小,滾子受力增大,軸承疲勞壽命降低。

圖11 軸承疲勞壽命隨徑向游隙的變化曲線

Fig.11 Variation curve of bearing fatigue life with radial clearance

4 結(jié)束語

本文通過切片法建立偏載工況下的圓柱滾子軸承非赫茲接觸分析模型,得到滾子沿素線方向的接觸應(yīng)力分布,并基于支持向量機(jī)建立5種滾子修形方式的圓柱滾子軸承疲勞壽命計算模型,分析了力矩載荷、徑向載荷、轉(zhuǎn)速、徑向游隙對不同修形方式軸承疲勞壽命的影響。但建模時考慮的因素還不夠全面,與實際工況還有一定的差異,有待進(jìn)一步研究。

【參考文獻(xiàn)】

[1] 惲瑤芳.圓柱滾子軸承軸向承載能力和疲勞壽命的計算方法[J].軸承,1983(3):1-15,64.

[2] 羅祝三,吳林豐.任意載荷作用下軸承壽命的計算[J].軸承,1990(4):2-9.

[3] WARDA B,CHUDZIK A.Effect of ring misalignment on the fatigue life of the radial cylindrical roller bearing[J].International Journal of Mechanical Sciences,2016,111/112:1-11.

[4] 劉棟,閆明,金昊,等.滾動軸承接觸應(yīng)力的有限元分析方法研究[J].機(jī)械傳動,2015,39(9):129-132.

[5] DENG B,LIU Y F,GUO Y,et al.Integral finite element analysis of turntable bearing with flexible rings[J].IOP Conference Series:Materials Science and Engineering,2018,322:1-7.

[6] 徐鶴琴,汪久根,王慶九.滾動軸承疲勞壽命的影響因素[J].軸承,2016(5):58-64.

[7]OSWALD F B,ZARETSKY E V,POPLAWSKI J V.Effect of internal clearance on load distribution and life of radially loaded ball and roller bearings[J].Tribology Transactions,2012,55(2):245-265.

[8] 冷鋼,王黎欽,鄭德志,等.復(fù)雜工況下滾子軸承壽命的修正計算方法[J].軸承,2012(12):1-5.

[9] CRETU S S.The effect of primary loading on fatigue life of cylindrical roller bearings[J].IOP Conference Series:Materials Science and Engineering,2016,147(1):1-18.

[10] 徐芝綸.彈性力學(xué)[M].北京:人民教育出版社,1979.

[11] HARRIS T A,CRECELIUS W J.Rolling bearing analysis[J].Journal of Tribology,1986,108(1):149-150.